Question

已知函数．

求的单调区间和极值；

当时，若，且，证明：．

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

（2）代入a的值，求出函数的导数，结合均值不等式以及函数的单调性证明即可．

函数的定义域为，，

当时，，在上单调递增，无极值；

当时，由，得，

当时，，得的单调递增区间是；

当时，，得的单调递减区间是，

故的极大值为，无极小值,

综上：当时，单调递增区间是，无减区间；无极值；

当时，单调递增区间是，单调递减区间是，极大值为，无极小值.

当时，，，

依题意，，则，

所以，即

由均值不等式可得，

所以，则有．

而，

将代入上式得，

令，则，，

，，即，在上单调递减，

于是，即，得证．