Question

已知函数是定义在R的奇函数，其中a是常数.

（1）求常数a的值；

（2）设关于x的函数有两个不等的零点，求实数b的取值范围；

（3）求函数在上的值域.

Answer

（1）；（2）或；（3）当时的值域是，当时的值域是.

【解析】

（1）利用R上的奇函数的性质求出参数；

（2）首先把函数的零点问题转化为方程根的问题，利用函数的性质求出等式关系求解即可；

（3）利用变量代换把函数转化为二次函数求值域问题，然后根据参数分类讨论即可求出函数值域.

（1）已知函数是定义在R的奇函数，

，解得，

，，

符合题意，故；

（2）由，

因为是奇函数，所以有，

又因为，故在R上单调递增，

由，得，

即，

令，得方程有两解，

有，求得或；

（3），，

令，则，

当时，时，有最小值，的值域是，

当时，时，有最小值2，的值域是.