Question

（1）讨论函数的单调性，并证明当时，；

（2）证明：当时，函数有最小值，设的最小值为，求函数的值域.

Answer

（1）在和上单调递增，证明见解析；（2）证明见解析，.

【解析】

（1）对函数求导后分析导函数的正负，即可求出函数的单调递增区间，然后利用函数单调性证明当时，；

（2）首先对函数求导，再根据有极小值求出极小值，然后对极小值求导，求出函数的值域.

（1）证明：，，

∵当时，，

∴在区间和上单调递增，

∴时，，

∴；

（2）

，令，

因为在上单调递增，

且的值域是，，

根据题中条件有恒有唯一的零点，

即零点，有，

又因为在上单调递增，

有当时，，，单调递减，

当时，，，单调递增，

所以在处取极小值也是最小值，

，

记，在时，，

∴单调递增，∴.