Question

图1是由正方形，直角梯形，三角形组成的一个平面图形，其中，，将其沿，折起使得与重合，连接，如图2.

（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；

（2）求图2中的点到平面的距离.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）由平行的传递性可证得，即可说明四点共面；由和直角梯形可知，利用线面垂直的判定定理可证得平面，进而，分别在直角梯形和直角梯形中由勾股定理求得和，再由勾股定理逆定理可知，从而平面，即可证得平面平面.

（2）计算等腰直角三角形中边上的高，由线面平行的性质可知，点到平面的距离，分别计算三角形的面积和的面积，由等体积法构建方程，可求得点到平面的距离.

（1） 证明：因为正方形中，，梯形中，， 所以，

所以四点共面；

因为， 所以， 因为，

所以平面，

因为平面， 所以，

在直角梯形中，，可求得，

同理在直角梯形中，可求得，

又因为，

则，

由勾股定理逆定理可知，

因为， 所以平面，

因为平面，

故平面平面， 即平面平面.

（2）在等腰直角三角形中，边上的高为1， 所以点到平面的距离等于1，

因为与平面平行， 所以点到平面的距离，

三角形的面积，

中，边上的高为，

又因为的面积，

设点到平面的距离为，由三棱锥的体积，

得， 故点到平面的距离为.