Question

过的直线与抛物线交于，两点，以，两点为切点分别作抛物线的切线，，设与交于点.

（1）求；

（2）过，的直线交抛物线于，两点，证明：，并求四边形面积的最小值.

Answer

（1）（2）见解析，最小值为32.

【解析】

（1）设直线，联立直线l与抛物线方程，由韦达定理可得根与系数的关系，利用导数的几何意义表示，的斜率，进而表示，的方程，联立两直线的方程表示交点坐标，即可求得答案；

（2）由两点坐标分别表示，由可知，由抛物线的焦点弦弦长公式表示和，因为，所以由表示四边形的面积，最后由均值不等式求得最小值.

（1）设，直线，

所以，得，所以，

由，所以，

即，同理，联立得

即.

（2）因为，

所以，

， 即，

，同理，

当且仅当时， 四边形面积的最小值为32.