Question

已知函数在区间内没有极值点.

（1）求实数的取值范围；

（2）若函数在区间的最大值为且最小值为，求的取值范围.

参考数据：.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）对函数求导，因为，所以，令，对其求导利用分类讨论参数的取值范围进而研究的单调性，其中当，单调性唯一，满足条件，当，导函数存在零点，原函数由极值点不满足条件，综上得答案；

（2）由（1）可知的单调性，利用分类讨论当，在上单调递增，即可表示M，m，从而表示，视为关于的函数，可求得值域，同理当时，可求得的值域，比较两类结果的范围，求得并集，即为答案.

（1）因为函数，求导得，

令，

则，则在上单调递增，

①.若，则，则在上单调递增，

②.若，则，则，则在上单调递减；

③.若，则，又因为在上单调递增，结合零点存在性定理知：存在唯一实数，使得，

此时函数在区间内有极小值点，矛盾.

综上，

（2）由（1）可知，，，

①.若，则在上单调递增，则，，

则是关于的减函数，故；

②.若， 则在上单调递减，则，而；

则是关于的增函数，故；

因为，故，

综上，