Question

在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点形成轨迹．

（1）求轨迹的方程；

（2）若直线与曲线交于两点，为曲线上一动点，求面积的最大值

Answer

（1）；

（2）面积最大为．

【解析】

（1）设出点的坐标，由为线段的中点得到的坐标，把的坐标代入圆整理得线段的中点的轨迹方程；（2）联立直线和椭圆，求出的长；设过且与直线平行的直线为，当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，求出，和两平行直线间的距离，再由面积公式，即可得到最大值．

设，由题意，

为线段的中点，

即

又在圆上，

，即，

所以轨迹为椭圆，且方程为.

联立直线和椭圆，

得到，即

即有

设过且与直线平行的直线为，

当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，

将代入椭圆方程得：

由相切的条件得

解得，

则所求直线为或，

故与直线的距离为，

则的面积的最大值为.