Question

已知函数

（1）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；

（2）是否存在实数a，对任意的x₁，x₂（0，+∞），且x₁≠x₂，都有恒成立.若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer

（1）见解析（2）存在，

【解析】

（1）由题可知f（x）的定义域，再对其求导，利用分类讨论的根的大小，从而确定函数f（x）的单调性；

（2）假设存在，将已知条件转化为，构建新的函数g（x）=f（x）-ax，显然只要g（x）在（0，+∞）为增函数即成立，等价于不等式在（0，+∞）恒成立，解得a的取值范围即为答案.

（1）由题可知， f（x）的定义域为，．

①当时，

f（x）在（0，-a）上是增函数，在（-a，2）上是减函数，在上是增函数．

②当a=-2时，在上是增函数．

③时， 则f（x）在（0，2）上是增函数，在（2，-a）上是减函数，

在上是增函数．

（2） 假设存在实数a， 对任意的x1，x2（0，+∞），且x1≠x2，都有恒成立

不妨设， 若，即.

令g（x）=f（x）-ax= -ax=.

显然只要g（x）在（0，+∞）为增函数即成立

因为

要使g（x）在（0，+∞）为增函数则在（0，+∞）恒成立，

即只需-1-2a≥0，则.

故存在满足题意．