Question

在直角坐标系xOy中，点P到两点（0,），（0,）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx+1与A交于A，B两点.

（1）写出C的方程；

（2）若，求k的值.

Answer

（1）x21；（2）±

【解析】

（1）根据已知条件可判断动点轨迹为椭圆，结合题意写出椭圆方程即可；

（2）联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理以及向量垂直，即可求得参数.

（1）设P（x,y），由椭圆定义可知，

点P的轨迹C是以（0,），（0,）为焦点，长半轴为2的椭圆.

它的短半轴b1，

故曲线C的方程为x21.

（2）设A（x1,y1），B（x2,y2），

其坐标满足，

消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3＝0，

故x1+x2，x1x2，

若，即x1x2+y1y2＝0.

而y1y2＝k2x1x2+k（x1+x2）+1，

则x1x2+y1y21＝0，

化简得﹣4k2+1＝0，

解得k＝±.