Question

已知曲线上任意一点满足，直线的方程为，且与曲线交于不同两点，.

（1）求曲线的方程；

（2）设点，直线与的斜率分别为，，且，判断直线是否过定点？若过定点，求该定点的坐标.

Answer

（1）；（2）是，.

【解析】

（1）把已知等式根式里式子配方后由几何意义得出动点到两定点距离之和为定值，从而确定动点轨迹是椭圆，根据椭圆标准方程得出结论；

（2）设与的交点，，联立直线与曲线的方程：，消整理，应用韦达定理得，代入，得的关系，由此求得直线过定点的坐标．

（1）由可化得

，设，，

则等式即为，且，所以曲线是椭圆，焦点为，（在

轴上），长半轴长，半焦距，短半轴长，

所以曲线的方程为.

（2）联立直线与曲线的方程：，消整理得

，

∵直线与曲线交于不同两点，，

∴，得，

设与的交点，，

则，.

由题意，

∴，

由得，且满足，则：，

所以直线经过定点.