Question

已知等差数列{a_n}中，a₅＝8，a₁₀＝23．

（1）令，证明：数列{b_n}是等比数列；

（2）求数列{nb_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）见解析（2）Sn＝（n﹣1）•2n+1+2．

【解析】

（1）由题意可得an＝3n-7，则，即可得证；

（2）由nbn＝n•2n利用错位相减法即可求得Sn，即可得解.

（1）证明：设等差数列{an}的公差为d，∵a5＝8，a10＝23，

∴a1+4d＝8，a1+9d＝23，

联立解得：a1＝-4，d＝3，

∴an＝-4+3（n﹣1）＝3n-7．

∴，

∴2．

∴数列{bn}是等比数列，首项为2，公比为2．

（2）nbn＝n•2n．

∴数列{nbn}的前n项和Sn＝2+2×22+3×23+……+n•2n．

∴2Sn＝22+2×23+……+（n﹣1）•2n+n•2n+1．

∴两式相减得﹣Sn＝2+22+……+2n﹣n•2n+1n•2n+1．

∴Sn＝（n﹣1）•2n+1+2．