Question

如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）ABC﹣A₁B₁C₁中，已知AB＝AA₁＝2，点Q为BC的中点．

（1）求证：平面AQC₁⊥平面B₁BCC₁；

（2）求直线CC₁与平面AQC₁所成角的正切值．

Answer

（1）见解析（2）．

【解析】

（1）先证明AQ⊥平面B1BCC1，由面面垂直的判定即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面AQC1的一个法向量，求出，求出后即可得解.

（1）证明：由题意知：AB＝AC，Q为BC的中点，∴AQ⊥BC，

由B1B⊥平面ABC得B1B⊥AQ，

∵BC，B1B⊂平面B1BCC1，且BC∩B1B＝B，

∴AQ⊥平面B1BCC1，又∵AQ⊂平面AC1Q，

∴平面AC1Q⊥平面B1BCC1．

（2）建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．

∵AB＝AA1＝2，

∴A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），

A1（0，﹣1，2），B1（），C1（0，1，2），Q（，，0），

∴，，．

设为平面AQC1的一个法向量，

则，即，取y＝﹣1，则，，，

设直线CC1与平面AQC1所成角为θ，

则，

∵，∴，

∴，

∴直线CC1与平面AQC1所成角的正切值为．