Question

已知函数f（x）＝a1nx﹣ax+1（a∈R且a≠0）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）求证：（n≥2，n∈N^*）．

Answer

（1）当a＞0时, f（x）的单调递增区间（0，1），单调递减区间（1，+∞）；

当a＜0时, f（x）的单调递减区间（0，1），单调递增区间（1，+∞）；

（2）证明，见解析

【解析】

（1）对f(x)求导，分a＞0，a＜0两种情况讨论，分析函数单调性即可；

（2）令a＝1，由（1）可证得lnx＜x﹣1，即，叠乘可得证.

（1）∵f（x）＝a1nx﹣ax+1，∴f′（x）a，

①当a＞0时，

若0＜x＜1，则f′（x）＞0，若x＞1，f′（x）＜0，

∴f（x）的单调递增区间（0，1），单调递减区间（1，+∞）；

②当a＜0时，

若0＜x＜1，则f′（x）＜0，若x＞1，f′（x）＞0，

∴f（x）的单调递减区间（0，1），单调递增区间（1，+∞）；

（2）令a＝1，则f（x）＝lnx﹣x+1，所以f（1）＝0，

由（1）可知f（x）在[1，+∞）单调递减，

故f（x）≤f（1），（当x＝1时取等号），

所以lnx﹣x+1＜0，即lnx＜x﹣1，

从而有0＜lnn＜n﹣1，（n≥2，n∈N*），

即（n≥2，n∈N*），

∴（n≥2，n∈N*）．