Question

在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值；

（3）设为截面内-点（不包括边界），求到面，面，面的距离平方和的最小值.

Answer

（1）证明见解析；（2）（3）

【解析】

（1）利用在正方体的几何性质，得到，通过线面垂直和面面垂直的判定定理证明.

（2）根据和平面平面，知是在平面上的射影，即为直线与平面所成的角，然后在中求解.

（3）如图所示从向面，面，面引垂线，构成一个长方体，设到面，面，面的距离分别为x，y，z，，即长方体体对角线长的平方，当且仅当平面时，最小，然后用等体积法求解.

（1）如图所示：

在正方体中且，

所以平面 ，

又因为平面，

所以平面平面.

（2）因为，

由（1）知平面平面，

所以是在平面上的射影，

所以即为直线与平面所成的角，

在中，

所以.

（3）如图所示从向面，面，面引垂线，

构成一个长方体，设到面，面，面的距离分别为x，y，z，，即长方体体对角线长的平方，

当且仅当平面时，最小，

又因为，

即，

，

.