Question

已知函数，，为自然对数的底数．

（1）当时，判断零点个数并求出零点；

（2）若函数存在两个不同的极值点，，求实数的取值范围．

Answer

（1）只有一个零点，零点为0．（2）

【解析】

（1）对函数求导，令，对求导，显然，可知的单调性，特殊点，可知的单调性且，即可判定零点个数和零点；

（2）函数存在两个不同的极值点，，等价于方程有两个根，利用分类讨论思想，由（1）知，不合题意；当时，讨论的单调性，其中分界点和特殊点，通过构建函数比较与大小可知，由零点的存在性定理可知，满足，得此类情况下由两个根；当时，，无极值点；综上可得答案.

（1）由题知：，令，，

当，，所以在上单调递减，

因为，所以在上单调递增，在单调递减，

所以，故只有一个零点，零点为0．

（2）函数存在两个不同的极值点，，等价于方程有两个根

由（1）知：不合题意，

当时，因为，，单调递增且，，单调递减；

又因为且，所以；

又因为，因为函数，，，所以在上单调递减

所以，及，所以存在，满足，

所以，；，，，；

此时存在两个极值点，0，符合题意．

当时，因为，；，；

所以；所以，在上单调递减，

所以无极值点，不合题意；

综上可得：．