Question

已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x²﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x²+2ax+2﹣a=0”．

（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer

(1) （﹣∞，1] (2) a＞1或﹣2＜a＜1

【解析】

第一问由于命题，令，只要时，即可；第二问由第一问可知，当命题为真命题时，，命题为真命题时，，解得的取值范围，由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可知命题p与命题q必然一真一假，解出即可.

（1）∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，

根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，

也就是1﹣a≥0，解得a≤1，

∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；

（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，

命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．

∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，

∴命题p与命题q必然一真一假，

当命题p为真，命题q为假时，，

当命题p为假，命题q为真时，，

综上：a＞1或﹣2＜a＜1．