Question

设函数是定义域为的奇函数．

（1）若，求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围；

（2）若函数的图象过点，是否存在正数，使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1） （2）见解析

【解析】

（1）由f（1）＞0得a又a＞0，求出a＞1，判断函数的单调性f（x）＝ax﹣a﹣x为R上的增函数，不等式整理为x2﹣（k+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立，利用判别式法求解即可；

（2）把点代入求出a＝2，假设存在正数m，构造函数设s＝2x﹣2﹣x则（2x﹣2﹣x）2﹣m（2x﹣2﹣x）+2＝s2﹣ms+2，对底数m进行分类讨论，判断m的值．

（1） ，由 得 ，又 ∴ .

∵ ，函数是奇函数，∴

∵ 在上为增函数，即 对一切恒成立，

即 在恒成立，有，∴

得 ，所以的取值范围是

（2）假设存在正数符合，∵ 过 ∴

，

设,

(i) 若，则函数在上最小值为1

∵ 对称轴 ，（舍）

(ii) 若，则在上恒成立，且最大为1，最小值大于0

①

此时，故不合题意

②无解

综上所述，不存在正数满足条件．