Question

如图，在直三棱柱ABCA₁B₁C₁中，D，E，F分别是B₁C₁，AB，AA₁的中点.

(1) 求证：EF∥平面A₁BD；

(2) 若A₁B₁＝A₁C₁，求证：平面A₁BD⊥平面BB₁C₁C.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）首先证出EF∥A1B，利用线面平行的判定定理即可证出.

（2）证出BB1⊥A1D，A1D⊥B1C1，利用面面垂直的判定定理即可证出.

因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.

因为EF⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，所以EF∥平面A1BD.

(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，因为A1D⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D.

因为A1B1＝A1C1，且D是B1C1的中点，所以A1D⊥B1C1.

因为BB1B1C1＝B1，B1C1，BB1⊂平面BB1C1C，所以A1D⊥平面BB1C1C.

因为A1D⊂平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面BB1C1C.