Question

已知P（3，）是椭圆C：1上的点，Q是P关于x轴的对称点，椭圆C的离心率为.

 

（1）求椭圆C的方程；

（2）A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.

①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值.

②当A、B在运动过程中满足∠APQ=∠BPQ时，问直线AB的斜率是否为定值，并说明理由.

Answer

（1）；（2）①；②是，理由见解析.

【解析】

（1）由已知列关于，，的方程组求解可得，的值，则椭圆方程可求；

（2）①设出直线的方程，与椭圆方程联立，求得，利用配方法求最值；

②当时，由是关于轴的对称点，得，的斜率之和为0，设直线的斜率为，则的斜率为，求得直线，的方程，与椭圆方程联立求得与的值，代入直线的斜率公式可得直线的斜率是定值．

【解析】
（1）由题意知，解得．

椭圆的方程为；

（2）①设，，，，直线的方程为．

联立，得．

由的范围可得，由根与系数的关系得，．

．

是关于轴的对称点，四边形的面积．

当时，；

②当时，是关于轴的对称点，，的斜率之和为0，

设直线的斜率为，则的斜率为，设直线，

代入椭圆方程，可得．

，将换为，可得．

，，

．

故的斜率为定值．