Question

已知正方形ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，使△ACD为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为.

（1）证明：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上；

（2）求角的正弦值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）过点作平面，垂足为，连接，．证明在的垂直平分线上，则点在平面内的射影在直线上，

（2）以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平行于的向量为轴建立空间直角坐标系．设正方形的边长为，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得角的正弦值．

（1）证明：过点A作AG⊥平面BCDE，垂足为G，连接GC，GD.

因为△ACD为等边三角形，所以AC=AD，所以点G在CD的垂直平分线上.

又因为EF是CD的垂直平线，所以点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

另证：过点A作AG⊥EF，再证AG⊥CD，从而证得AG⊥平面BCDE，

即点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上

（2）【解析】
以G为坐标原点，GA所在直线为z轴，GF所在直线为y轴，过点G作平行于DC的直线为x轴建立空间直角坐标系.

设正方形ABCD的边长为2a，连接AF，

则 ，，

所以

设平面的一个法向量为，则，

令，得，又平面的一个法向量

所以，

.