Question

如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）若，求三棱锥的体积.

Answer

（1）见解析

（2）见解析

（3）

【解析】

（1）设和的交点为，根据，且，得到四边形为平行四边形，故，平面．

（2）证明平面，可得平面，故有，由正方形的两对角线的性质可得，

从而证得平面．

（3）利用等体积法将转化为求可得.

证明：（1）设和的交点为O，连接EO，连接OD.

因为O为的中点，D为AB的中点，

所以且.又E是中点，

所以，且，

所以且.

所以，四边形ECOD为平行四边形.所以.

又平面，平面，则平面.

（2）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以，.

所以平面ABC.因为平面ABC，所以.

由已知得，所以，

所以平面.由（1）可知，所以平面.

所以.因为侧面是正方形，所以.

又，平面，平面，

所以平面.

（3）【解析】
由条件求得，，可以求得

所以