Question

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.

（1）写出曲线的普通方程，并说明它表示什么曲线；

（2）已知倾斜角互补的两条直线，，其中与交于，两点，与交于，两点，与交于点，求证：.

Answer

（1），开口向右，焦点为的抛物线；（2）证明见解析

【解析】

（1）根据代入消元法得曲线的普通方程，根据方程特征确定曲线形状；

（2）设直线方程参数方程形式，代入抛物线方程，根据参数几何意义得，同理可得，最后根据倾斜角关系证结论.

由，得，代入，得，即，

∴的普通方程为，表示开口向右，焦点为的抛物线.

（2）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，

则直线的参数方程为（为参数），

与联立得，

设方程的两个解为，，则，

∴，

则，

∴.