Question

已知等差数列的前项和为，且满足，.

（1）求数列的通项公式及前项和；

（2）求数列的前项和；

（3）若，如果对任意，都有，求实数的取值范围.

Answer

（1）， （2） （3）

【解析】

（1）设等差数列的首项为，公差为,由已知建立方程组,解之可得首项和公差，从而得出数列的通项和前n项和；

（2）分当时和当时，分别求和可得数列的前项和；

（3）由（1）得，作差得，讨论n可得出的最大值，再由恒等式思想，建立关于t的不等式，可求得实数的取值范围.

（1）设等差数列的首项为，公差为，由已知可得得,

所以，，；

（2）当时，，∴，

当时，，∴；

（3），则由，

①当时，，

②当时，.

③当时，，

所以，所以数列的最大值为，

又因为恒成立，所以，所以或.

所以实数的取值范围是.