Question

已知函数，.

（1）若函数为偶函数，求实数的值；

（2）存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围；

（3）若方程在上有且仅有两个不相等的实根，求实数的取值范围.

Answer

（1） （2） （3）

【解析】

(1)根据函数的奇偶性的定义，可求得实数的值；

(2)由，得，由于，对a进行参数分离得，运用函数的单调性和不等式的存在性，可求得实数的取值范围；

(3)分①当时，②当，③当时，分别讨论方程的根的情况，可求得实数的取值范围.

（1）因为函数为偶函数，即函数为偶函数，所以，

所以或，解得，

所以实数的值为1；

（2），即，则，∵，

∴，

令，则的定义域为，

设，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

因为是定义域为的奇函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

∵，所以在上单调递增，在上单调递减，而，，

∴，得到；

（3）①当时，在上单调递增，此时方程没有根；

②当，，即时，因为有两个正根，

所以，得，

③当时，设方程的两个根为，则有，结合图形可知在上必有两个不同的实根.

综上，实数的取值范围为.