Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，△DAB≌△DCB，E为线段BD上的点，且EA＝EB＝ED＝AB，延长CE交AD于点F．

（1）若G为PD的中点，求证平面PAD⊥平面CGF；

（2）若AD＝AP＝6，求平面BCP与平面DCP所成锐二面角的余弦值．

Answer

（1）见解析（2）．

【解析】

（1）推导出∠BCD＝，EF⊥AD，AF＝DF，GF⊥平面ABCD，GF⊥AD，从而AD⊥平面CFG，由此能证明平面PAD⊥平面CGF．

（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BCP与平面DCP所成锐二面角的余弦值．

（1）证明：在△BCD中，EB＝ED＝EC＝BC，∴∠BCD，

∵△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，

∴∠FED＝∠FEA＝∠AEB，EC＝EA，

∴∠FED＝∠FEA，ED＝EA，∴EF⊥AD，AF＝DF，

∵PG＝DG，∴FG∥PA，

∵PA⊥平面ABCD，∴GF⊥平面ABCD，∴GF⊥AD，

∵GF∩EF＝F，∴AD⊥平面CFG，

∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面CGF．

（2）【解析】
由（1）知∠BCD，

∵△DAB≌△DCB，∴AB⊥AD，

∵AD＝AP＝6，，∴AB＝2，

以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

P（0，0，6），B（0，2，0），C（3，3，0），D（6，0，0），

（0，2，﹣6），（3，3，﹣6），（6，0，﹣6），

设平面BCP的法向量（x，y，z），

则，取x＝1，得（1，，﹣1），

设平面DCP的法向量（x，y，z），

则，取x＝1，得（1，，1），

设平面BCP与平面DCP所成锐二面角的平面角为θ，

则cosθ．

∴平面BCP与平面DCP所成锐二面角的余弦值为．