Question

已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F（3，0），左、右顶点分别为M，N，点P是E在第一象限上的任意一点，且满足k_PM•k_PN＝8．

（1）求双曲线E的方程；

（2）若直线PN与双曲线E的渐近线在第四象限的交点为A，且△PAF的面积不小于3，求直线PN的斜率k的取值范围．

Answer

（1）x21．（2）0＜k．

【解析】

（1）根据kPM•kPN＝8恒成立及c＝3列出方程组，从而可得出a，b的值；

（2）设直线PA的方程为：x＝my+1，用m表示出P、A的纵坐标，得出三角形PAF的面积关于m的函数，求出m的范围，从而求出k的范围．

（1）设P（x0，y0），则kPM，kPN，

∴kPM•kPN8，即8x02﹣8a2，

又P（x0，y0）是双曲线上的点，∴1，即y02x02﹣b2，

∴8，又双曲线的右焦点为（3，0），∴a2+b2＝9．

∴a2＝1，b2＝8，

∴双曲线的方程为：x21．

（2）由（1）可知N（1，0），双曲线的过第四象限的渐近线方程为y＝﹣2x，

设直线PN的方程为：x＝my+1，则直线PN的斜率为k，显然m＞0．

联立方程组，可得yA，

联立方程组，可得yP，

∴S△PAF（yP﹣yA），

令3，解得m，

∴0，即0＜k．