Question

已知函数f（x）＝e^x．

（1）若f（x）的图象在x＝a处切线的斜率为e﹣1，求正数a的值；

（2）对任意的a≥0，f（x）＞2lnxk恒成立，求整数k的最大值．

Answer

（1）1（2）最大值为3．

【解析】

（1）利用导数的几何意义求解；

（2）原问题等价于，构造函数利用导数研究即可．

（1），

∵在x＝a处切线的斜率为e﹣1，

∴，

又a＞0，

∴a＝1；

（2）由题意，，即，

令，函数g（a）为一次函数，且为增函数，

∴g（a）≥g（0）＝ex﹣2lnx，

∴，

令h（x）＝ex﹣2lnx，（x＞0），则，

∴函数h′（x）在（0，+∞）上单调递增，

又x→0时，h′（x）→﹣∞，x＝1时，h′（1）＝e﹣2＞0，

∴存在x0∈（0，1），使得h′（x）＜0，h（x）为减函数，x∈（x0，+∞），使得h′（x）＞0，h（x）为增函数，

∴，

令，易知，函数m（x）在（0，1）上单调递减，

∴m（x）＞m（1）＝2，

∴，即k＜4，

故整数k的最大值为3．