Question

蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，，直线与圆交于，.原点在圆内.

（1）求证：.

（2）设交轴于点，交轴于点.求证：.

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）联立直线方程和圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立.

（2）分别求出点和点的横坐标表达式，结合（1）中得证结论，从而证明成立.

（1）已知圆的方程为，

直线与圆交于，，联立，

化简得，

则，，所以，

同理线与圆交于，，

联立 化简得，

则，，所以，

故有，所以成立；

（2）不妨设点，点，

因为、、三点共线，所以，化简得，

因为点在直线上，所以，点在直线上，所以，

则，

同理因为、、三点共线，所以，化简得，

因为点在直线上，所以，点在直线上，所以，

则，

又由，可得，，

即，所以，则，

所以，所以成立.