Question

在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）若点都在椭圆上，且中点在线段(不包括端点)上.

①求直线的斜率；

②求面积的最大值.

Answer

（1）；（2）①；②.

【解析】

（1）根据题意，由离心率，且点在椭圆上，列出方程，计算的值，则椭圆方程可求；

（2）利用“点差法”求出所在直线的斜率，设出直线方程，与椭圆方程联立，由弦长公式求得弦长，再由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，代入三角形面积公式，利用基本不等式求得最值.

（1）离心率，

由代入椭圆方程，可得，

又

解得， ，

即有椭圆方程为；

（2）①设

可得，

相减可得，

由题意可得，

即为，

可得直线的斜率为；

②设直线的方程为，

代入椭圆方程可得，，

由，解得，

，

，

又到的距离为，

即有面积为

当且仅当，即时，取得最大值.