Question

设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，假设（其中为坐标原点）

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值

Answer

（1）（2）11

【解析】

（1）先求出坐标，再由，联立求解，即可求得，进而求得标准方程；

（2）解法不唯一，可采用方法1中的向量法进行转化；也可采用方法2，纯代数运算，分别表示出点，其中的中点坐标为，可得，再表示出的坐标表达式，结合二次函数最值可求解；还可采用分类讨论直线斜率是否存在的方法，求出直线与圆的点坐标，再结合的坐标运算及二次函数性质即可求解；

（1）由题设知，，，由，得解得、因此椭圆的方程为；

（2）方法1：设圆的圆心为，

那么，

从而求的最大值转化为求的最大值，

因为是椭圆上的任意一点，设，因此，即，

因为，因此，

因为，因此当时，取得最大值12，

因此的最大值为11；

方法2：设点，

因为的中点坐标为，因此

因此，

，

，

，

因为点在圆上，因此，即，

因为点在椭圆上，因此，即，

因此，

因为，因此当时，；

方法3：①假设直线的斜率存在，设的方程为，

由，解得，

因为是椭圆上的任一点，设点，

因此，即，

因此，

因此，

因为，因此当时，取得最大值11；

②假设直线的斜率不存在，则的方程为，

由，解得或，

不妨设，，，

因为是椭圆上的任一点，设点，

因此，即，

因此，，

因此，

因为，因此当时，取得最大值11，

综上可知，的最大值为11