Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N⁺）
（1）证明：数列{a_n+1-a_n }是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）将已知的递推关系变形，利用等比数列的定义，证得数列{an+1-an}成等比数列．
（2）利用等比数列的通项公式求出an+1-an=2n，然后根据an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1求出数列{an}的通项公式．
【解析】
（1）证明：∵an+2=3an+1-2an
∴an+2-an+1=2（an+1-an）
又a1=1，a2=3
即
∴数列{an+1-an}是以2为 首项，2为公比的等比数列
（2）由（1）知an+1-an=2n
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=2n-1+2n-2+…+2+1
=2n-1