Question

如图，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为a_n．求
（Ⅰ）a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）a_n与a_n+1（n≥2）的关系式；
（Ⅲ）数列{a_n}的通项公式a_n，并证明a_n≥2n（n∈N^*）．

Answer

（Ⅰ）直接求出n=1时a1，n=2时a2，n=3时a3，n=4时a4；的值；
（Ⅱ）依次对扇形区域染色求出an然后说明它与an+1（n≥2）的关系式；
（Ⅲ）通过an与an+1（n≥2）的关系式；令n=1，2，3，4，…n时写出关系式，利用累加法求出数列{an}的通项公式an，
要证明an≥2n（n∈N*）需要已知n=1，n=2，n=3时成立，然后利用二项式定理证明表达式成立即可．．
【解析】
（Ⅰ） 当n=1时，不同的染色方法种数a1=3，
当n=2时，不同的染色方法种数a2=6，
当n=3时，不同的染色方法种数a3=6，
当n=4时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形
∴不同的染色方法种数a4=3×1×2×2+3×2×1×1=18．
（Ⅱ）依次对扇形区域1，2，3，…n，n+1染色，不同的染色方法种数为3×2n，其中扇形区域1与n+1不同色的有an+1种，扇形区域1与n+1同色的有an种
∴an+an+1=3×2n（n≥2）
（Ⅲ）∵an+an+1=3×2n（n≥2）
∴a2+a3=3×22
a3+a4=3×23
…
an-1+an=3×2n-1将上述n-2个等式两边分别乘以（-1）k（k=2，3…n-1），再相加，得
a2+（-1）n-1an=3×22-3×23+…+3×（-1）k×2n-1=，
∴an=2n+2•（-1）n从而．
（Ⅲ）证明：当n=1时，a1=3＞2×1
当n=2时，a2=6＞2×2，
当n≥3时，
an=2n+2•（-1）n=（1+1）n+2•（-1）n
=1+n+C2n+C3n+…+Cn-2n+n+1+2•（-1）n
≥2n+2+2（-1）n≥2n，
故an≥2n（n∈N*）．