Question

点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线C：x²=2y上的不同两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两条切线交于点P（x，y）．
（1）求证：x是x₁与x₂的等差中项；
（2）若直线AB过定点M（0，1），求证：原点O是△PAB的垂心；
（3）在（2）的条件下，求△PAB的重心G的轨迹方程．

Answer

（1）首先求出抛物线的导数，进而求出直线PA和PB的方程，得出 即可证明结论．
（2）设出直线方程并代入抛物线方程，利用韦达定理求出x0和y0，即可求出斜率，根据斜率乘积为-1得出垂直即可证明结论；
（3）设中重心的坐标为G（x，y），可以得出x=k，y=k2+，即可求出轨迹方程．
【解析】
（1）对x2=2y求导 得y'=x，
所以直线PA：y=x1（x-x1）+y1，即
同理，直线，解得 
所以x是x1与x2的等差中项；                      （5分）
（2）设直线AB：y=kx+1，代入x2=2y整理得x2-2kx-2=0．
∴，得
∴即AB⊥OP；kAP=x1，
∴，
∴AP⊥OB，同理BP⊥OA，
所以原点O是△PAB的垂心； （（10分），只需证明两个垂直就得满分）
（3）设△PAB的重心G（x，y），则，
因为k∈R，所以点G的轨迹方程为．               （15分）