由A,B及C成等差数列,利用等差数列的性质得到A+C=2B,再利用三角形的内角和定理求出B的度数,进而得到A+C的度数,利用两角和与差的正切函数公式化简tan(A+C),根据A+C的度数,利用特殊角的三角函数值求出tan(A+C)的值,把已知的tanAtanC的值代入,求出tanA+tanC的值,根据韦达定理得到关于tanA和tanC的方程,求出方程的解得到tanA和tanC的值,利用特殊角的三角函数值求出A和C的度数,进而得到B的度数,由c边上的高,利用正弦定理求出a及b的值,再由a,sinA及sinC的值,利用正弦定理即可求出c的值.
【解析】
由A+B+C=180°及A+C=2B,
得B=60°,A+C=120°,…(2分)
∴=-,又tanAtanC=2+,
∴tanA+tanC=3+,…(4分)
∴tanA,tanC为二次方程x2-(3+)x+2=0的根,
∴tanA=1,tanA=2+或tanC=2+,tanC=1,
∴A=45°,C=75°或A=75°,C=45°,…(8分)
①若A=45°,C=75°,则B=60°,
根据正弦定理=,=,=,
则;…(10分)
②若A=75°,C=45°,则B=60°,同理可得:
a=8,b=4(3-),c=8(-1).…(12分)