Question

如图，已知平行四边形ABCD中，AD=2，CD=，∠ADC=45°，AE⊥BC，垂足为E，沿直线AE将△BAE翻折成△B′AE，使得平面B′AE⊥平面AECD．连接B′D，P是B′D上的点．
（Ⅰ）当B′P=PD时，求证：CP⊥平面AB′D；
（Ⅱ）当B′P=2PD时，求二面角P-AC-D的余弦值．

Answer

（Ⅰ） 由已知，得出E′E⊥EC，建立空间直角坐标系．通过•=0，•=0得出CP⊥AB′，CP⊥AD，证出CP⊥平面AB′D；
 （Ⅱ）设P（x，y，z），则=（x，y，z-1），=（2-x，1-y，-z），由=2得出P（ ，，），分别求出面PAC 的法向量，平面DAC的法向量，利用向量的夹角求出二面角P-AC-D 的大小．
【解析】
（Ⅰ）∵AE⊥BC，平面B′AE⊥平面AECD，∴E′E⊥EC．
如图建立空间直角坐标系，…（2分）
则A（0，1，0），B′（0，0，1），C（1，0，0），
D（2，1，0），E（0，0，0），P（1，）．
=（0，-1，1），=（2，0，0），=（0，）．   …（4分）
∵•=0，∴CP⊥AB′
•=0，∴CP⊥AD
又AB′∩AD=A，
∴CP⊥平面AB′D；     …（7分）
（Ⅱ）设P（x，y，z），则=（x，y，z-1），=（2-x，1-y，-z），
由=2得

解得x= y=，z=，
∴P（ ，，）
=（ ，，），=（1，-1，0）…（10分）
 设面PAC 的法向量为=（x，y，z），
则．
取x=y=1，z=-3．，则=（1，1，-3），…（12分）
又平面DAC的法向量为=（0，0，1），
设二面角P-AC-D的大小为θ，则cosθ===．    …（14分）