Question

某水产养殖户在鱼成熟时，随机从网箱中捕捞100尾鱼，其质量分别在[4，4.5），[4.5.5），[5.5.5），[5.5，6），[6，6.5），[6.5，7]（单位：斤）中，经统计得频率分布直方图如图所示

（1）现按分层抽样的方法，从质量为[4.5，5），[5，5.5）的鱼中随机抽取5尾，再从这5尾中随机抽取2尾，记随机变量X表示质量在[4.5，5）内的鱼的尾数，求X的分布列及数学期望．

（2）以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，该养殖户还未捕捞的鱼大约还有1000尾，现有两个方案：

方案一：所有剩余的鱼现在卖出，质量低于5.5斤的鱼售价为每斤10元，质量高于5.5斤的鱼售价为每斤12元

方案二：一周后所有剩余的鱼逢节日卖出，假设每尾鱼的质量不变，鱼的数目不变，质量低于5.5斤的鱼售价为每斤15元，这类鱼养殖一周的费用是平均每尾22元；质量高于5.5斤的鱼售价为每斤16元，这类鱼养殖一周的费用是平均每尾24元通过计算确定水产养殖户选择哪种方案获利更多？

Answer

（1）见解析，．（2）水产养殖户选择方案一获利更多．

【解析】

（1）计算两种鱼的尾数，根据超级和分布计算概率，得出X的分布列和数学期望；

（2）分别计算各种重量的鱼的尾数，计算两种方案对应的售价得出结论．

（1）质量在[4.5，5）和[5，5.5）的鱼尾数比为0.2：0.3，即2：3．

故按分层抽样的方法，从质量为[4.5，5），[5，5.5）的鱼中随机抽取5尾，

质量在[4.5，5）的鱼有2尾，质量在[5，5.5）的鱼有3尾，

故X的可能取值为0，1，2，

P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），

X的分布列为：

X

0

1

2

P

EX＝012．

（2）故按若按方案一，

卖鱼所得收入为：

4.25×10×1000×0.2×0.5+4.75×10×1000×0.2×0.5+5.25×10×1000×0.3×0.5+5.75×12×1000×0.8×0.5+6.25×12×1000×0.4×0.5+6.75×12×1000×0.1×0.5

＝4250+4750+7875+27600+15000+4050

＝63525（元），

若按方案二，卖鱼所得收入为：

4.25×15×1000×0.2×0.5+4.75×15×1000×0.2×0.5+5.25×15×1000×0.3×0.5+5.75×16×1000×0.8×0.5+6.25×16×1000×0.4×0.5+6.75×16×1000×0.1×0.5﹣24×1000

＝6370+7125+11812.5+36800+20000+5400﹣24000

＝63507（元）．

∵63525＞63507，

∴水产养殖户选择方案一获利更多．