Question

已知函数.

（1）若，求的图象在处的切线方程；

（2）讨论的单调性.

Answer

;当时,函数在区间上单调递增;

当时, 函数在区间上单调递减;

在区间,上单调递增.

【解析】

根据题意,求出函数的导数,由导数的几何意义知函数在处切线的斜率,代入点斜式方程即可求解;

根据题意,求出函数的导数,分和两种情况,求出所对的的取值范围,据此可以判断函数的单调性.

当时,,则,

所以,由导数的几何意义可知,

函数在处切线的斜率,

所以函数在点处的切线方程为,

即函数在点处的切线方程为；

因为函数,

所以,即,

当时, ，因为，

所以,所以函数在区间上单调递增;

当时,因为方程的两根为,

所以由，解得或,

由，解得，

所以函数在区间上单调递减;

在区间,上单调递增.

综上可知, 当时,函数在区间上单调递增;

当时, 函数在区间上单调递减;

在区间,上单调递增.