椭圆将圆的圆周分为四等份，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）若直线...

椭圆将圆的圆周分为四等份，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且的中点为，线段的垂直平分线为，直线与轴交于点，求的取值范围.

（1）（2）【解析】（1）先求解A点坐标，代入椭圆方程，结合离心率为，即得解. （2）设，，利用点差法得到，得到直线的方程为，得到，利用在椭圆内部得到范围，即得解. （1）不妨取第一象限的交点为. 由椭圆将圆的圆周分为四等份，知. 所以. 因为点在椭圆上，所以.① 因为，所以.② ①②联立，解得，. 所以椭圆的方程为. （2）设，，则两式相减，得. 又因的中点为，所以，. 所以直线的斜率. 当时，直线的方程，直线即轴，此时. 当时，直线的斜率. 所以直线的方程为，即. 令，则. 因为点在椭圆内部，所以. 所以，所以. 综上所述，的取值范围为.

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考点分析：

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如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，且.点是线段上一点，且.

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某校的名高三学生参加了天一大联考，为了分析此次联考数学学科的情况，现随机从中抽取名学生的数学成绩（满分：分），并绘制成如图所示的茎叶图.将成绩低于分的称为“不及格”，不低于分的称为“优秀”，其余的称为“良好”.根据样本的数字特征估计总体的情况.

（1）估算此次联考该校高三学生的数学学科的平均成绩.

（2）估算此次联考该校高三学生数学成绩“不及格”和“优秀”的人数各是多少.

（3）在国家扶贫政策的倡导下，该地教育部门提出了教育扶贫活动，要求对此次数学成绩“不及格”的学生分两期进行学业辅导：一期由优秀学生进行一对一帮扶辅导，二期由老师进行集中辅导.根据实践总结，优秀学生进行一对一辅导的转化率为；老师集中辅导的转化率为，试估算经过两期辅导后，该校高三学生中数学成绩仍然不及格的人数.