Question

若椭圆：上有一动点，到椭圆的两焦点，的距离之和等于，到直线的最大距离为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于不同两点、，（为坐标原点）且，求实数的取值范围.

Answer

(1) .

(2) （－2，）∪（，2）.

【解析】

（I）由椭圆的定义及到直线的最大距离为列方程可求得和的值，从而可求得椭圆的方程；（II）设椭圆的方程，代入椭圆的方程，由取得的取值范围，利用韦达定理及向量的坐标运算求得点坐标，代入椭圆方程，求得，由，即可求得的取值范围.

（I）由已知得，∴， ，

所以椭圆的方程为：.

（II）l的斜率必须存在，即设l：，

联立，消去y整理得，

由得，

设，，由韦达定理得，，

而＋＝，设P（x，y），

∴∴，

而P在椭圆C上，∴，

∴（*），又∵，

，

解之，得，∴，

再将（*）式化为 ，将代入

得，即或，

则t的取值范围是（－2，）∪（，2）