Question

设是以为焦点的抛物线，是以直线与的渐近线，以为一个焦点的双曲线.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若与在第一象限有两个公共点，求的取值范围，并求的最大值；

（3）是否存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.

Answer

（1）（2）；9；（3）存在正数，

【解析】

（1）可知焦点坐标在轴上，可设，再根据两条渐近线与得出关系式，再由焦点是，结合即可求得双曲线方程；

（2）由与在第一象限内有两个公共点和，联立双曲线和抛物线方程，可得的取值范围；设，用坐标表示，利用韦达定理及配方法，可得的最大值；

（3）由（2）及重心公式可得的重心，，即，，假设恰好在双曲线的渐近线上，代入渐近线方程，即可求得结论．

（1）由题可知焦点为，故焦点在轴上，设双曲线的方程为

是以直线与为渐近线，

，，，双曲线方程为；

（2）抛物线的焦点，，联立双曲线方程消得：，

可得，与在第一象限内有两个公共点和，，

设，则

将代入得，函数的对称轴为，，时，的最大值为9；

（3）由（2）知的重心为，，

，，

假设恰好在双曲线的渐近线上，代入可得，，或，，

存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上