2010年数学参赛试卷2010.3吴（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

世界陆地海拔最低点是死海（位于以色列和约旦的交界），海拔-400米．在地球气候日益变暖的今天，这些世界洼地不久将消失，所以我们要珍惜地球，爱护我们的家园．下面对“-400”的叙述不正确的是（ ）

A．-400是一个负数
B．-400表示在海平面以下400米
C．-400在数轴上的位置在原点的左边
D．-400是一个比-300大的数

2. 难度：中等

（2011•厦门质检）使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＜3
B．x＞3
C．x≤3
D．x≥3

3. 难度：中等

把一副（30°60°90°）和（45°45°90°）的三角板如图放置，则重叠处的夹角a为（ ）

A．105°
B．90°
C．75°
D．60°

4. 难度：中等

一次数学考试后，某个四人学习小组中有三个人的成绩分别为90分、90分、80分，若整个学习小组的中位数是85分，则第4个同学的成绩可能为（ ）
A．80分
B．85分
C．90分
D．100分

5. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点A（-2，3）平移后能与原来的位置关于x轴轴对称，应把点A（ ）
A．向下平移3个单位
B．上平移3个单位
C．向下平移6个单位
D．上平移6个单位

6. 难度：中等

若一元二次方程x²-6x+8=0的两根是圆心距为的两圆半径，则这两圆的位置关系为（ ）
A．外离
B．相交
C．相切
D．内含

7. 难度：中等

公务员行政能力测试中有一类图形规律题，可以运用我们初中数学中的图形变换再结合变化规律来解决，下面一题问号格内的图形应该是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

某校举行体艺节活动，在象棋单项循环赛中，得分规则是赢得2分，和各得1分，输得0分，比赛结束后，有四个同学统计总得分如下：458，460，462，464，由于比赛前后时间间隔比较长，给统计带来困难，结果只有一个人的统计是准确的，则统计准确的那个总分是（ ）
A．458
B．460
C．462
D．465

9. 难度：中等

割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（ ）
A．5
B．
C．4
D．17-4π

10. 难度：中等

如图，⊙O₁，⊙O₂相互外切且都内切于半圆O，且⊙O₁，⊙O₂切半圆直径于点O和C，则cos∠OO₁O₂的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

若|x+y+1|与（x-y-2）²互为相反数，则（3x-y）⁴=    ．

12. 难度：中等

锐角α是正比例函数y=-2x的图象与x轴的夹角，则cosa=    ．

13. 难度：中等

放春假，小明和同学们一起去春游，大家一起兴高采烈的在车上有说有笑，看到一辆辆相对行驶而过的车辆，喜欢动脑的数学课代表出了这样一个题“迎面开来一辆车，它的车牌照号码能被3整除的概率是多少？”，大家纷纷议论，有些同学觉得应该是，有些同学觉得无法确定，你觉得概率应该是    ．

14. 难度：中等

若（m，y₁）和（m+1，y₂）是反比例函图象上的两点，当m满足条件    时，y₁＞y₂．

15. 难度：中等

如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是acm，若铁钉总长度为7 cm，则a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

如图，已知正方形ABCD的边长AB=1，正△PAE的边长AE=1，开始时正△PAE与正方形ABCD边AB重合，顶点P在正方形内，将正△PAE在正方形内按如图所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、BC…连续地翻转    次，才使顶点P第一次回到原来的起始位置；若把外面的正方形ABCD改为边长为2的正五边形ABCDEF，则正△PAE沿着正五边形的边连续翻转    次，顶点P第一次回到原来的起始位置．

三、解答题

17. 难度：中等

（1）计算：；（2）解方程：．

18. 难度：中等

若点P（2a-4，a+2）是第二象限内的整点（横纵坐标都是整数），求满足条件的所有P点坐标．

19. 难度：中等

某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚10cm的砖塞在球的两侧（如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是60cm，聪明的你也能算出这个大石球的半径了吗？请你建立一个用于求大理石球的几何模型，并写出你的计算过程．

20. 难度：中等

如图：是一个几何体的三视图，
（1）描述这个三视图：______；
（2）求出这个几何体的体积；
（3）若有一只蚂蚁想要从几何体上表面的A处沿上表面爬到B处，见俯视图示意图，则求蚂蚁爬行的最短距离．

21. 难度：中等

某校为积极开展人防教育，抽取了部分八年级的学生举行人防知识竞赛，并将竞赛成绩整理后作出如下的统计图．已知从左至右第一、二组的频率和是0.12，第二、三、四组的频数比是4：17：15，成绩不小于100分的同学占96%．结合统计图回答下列问题：
（1）从左至右第一组的频率是多少？共有多少人参加了这次人防知识竞赛？
（2）成绩不小于130分的为优秀，若将原统计图改成扇形统计图，则优秀部分对应的圆心角应画成几度角？
（3）如果这次竞赛成绩的中位数是120分，那么成绩为120分的学生至少有多少人？

22. 难度：中等

（2009•长沙）为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．
（1）求月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润=销售额-生产成本-员工工资-其它费用），该公司可安排员工多少人？
（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？

23. 难度：中等

（2012•南浔区一模）黄金分割比是生活中比较多见的一种长度比值，它能给人许多美感和科学性，我们初中阶段学过的许多几何图形也有着类似的边长比例关系．例如我们熟悉的顶角是36°的等腰三角形，其底与腰之比就为黄金分割比，底角平分线与腰的交点为黄金分割点．
（1）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ACB的角平分线CD交腰AB于点D，请你证明点D是腰AB的黄金分割点；
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，若，则请你求出∠A的度数；
（3）如图3，如果在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB上的高，∠A、∠B、∠ACB的对边分别为a，b，c．若点D是AB的黄金分割点，那么该直角三角形的三边a，b，c之间是什么数量关系？并证明你的结论．

24. 难度：中等

（2008•湖州）已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数（k＞0）的图象与AC边交于点E．
（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；
（2）记S=S_△OEF-S_△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．