2013届北京西城（北区）高二下学期学业测试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：困难

是虚数单位，复数等于（    ）

A.

B.

C.

D.

2. 难度：困难

甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7，且预报准确与否相互独立. 那么在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是（    ）

A.

B.

C.

D.

3. 难度：困难

函数的图象在处的切线方程是（    ）

A.

B.

C.

D.

4. 难度：困难

用组成没有重复数字的四位数，其中奇数有（    ）

A.个

B. 个

C. 个

D. 个

5. 难度：困难

如图，阴影区域是由函数的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（   ）

A.

B.

C.

D.

6. 难度：困难

已知函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（    ）

A.

B.

C.

D.

7. 难度：困难

乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用局胜制（即先胜局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，那么甲以比2获胜的概率为（    ）

A.

B.

C.

D.

8. 难度：困难

设函数的定义域为R，如果存在函数为常数），使得对于一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数. 已知对于任意，是函数的一个承托函数，记实数a的取值范围为集合M，则有（    ）A.

B.

C.

D.

二、填空题

9. 难度：困难

在的展开式中，的系数等于________。（用数字作答）

10. 难度：困难

已知某随机变量X的分布列如下（）：

则随机变量X的数学期望=_______，方差=____________.

11. 难度：困难

设函数，，则的最大值为____________，最小值为___________.

12. 难度：困难

若4名学生和3名教师站在一排照相，则其中恰好有2名教师相邻的站法有_______种.（用数字作答）

13. 难度：困难

已知函数在区间 2上存在零点，那么实数a的取值范围是_________.

14. 难度：困难

如图，设是抛物线上一点，且在第一象限. 过点作抛物线的切线，交轴于点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，此时就称确定了.依此类推，可由确定，.记，。

给出下列三个结论：

①；

②数列为单调递减数列；

③对于，，使得.

其中所有正确结论的序号为__________。

三、解答题

15. 难度：困难

在数列中，，，。

（Ⅰ）计算，，的值；

（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.

16. 难度：困难

甲同学在军训中，练习射击项目，他射击命中目标的概率是，假设每次射击是否命中相互之间没有影响.

（Ⅰ）在3次射击中，求甲至少有1次命中目标的概率；

（Ⅱ）在射击中，若甲命中目标，则停止射击，否则继续射击，直至命中目标，但射击次数最多不超过3次，求甲射击次数的分布列和数学期望.

17. 难度：困难

设，函数的导函数为.

（Ⅰ）求的值，并比较它们的大小；

（Ⅱ）求函数的极值.

18. 难度：困难

袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，现从袋中任意取出3个小球，假设每个小球被取出的可能性都相等.

（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字分别为1，2，3的概率；

（Ⅱ）求取出的3个小球上的数字恰有2个相同的概率；

（Ⅲ）用X表示取出的3个小球上的最大数字，求的值.

19. 难度：困难

请先阅读：

（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），结合等式 （，整数），证明：；

（Ⅱ）当整数时，求的值；

（Ⅲ）当整数时，证明：.

20. 难度：困难

设函数，其中。

（Ⅰ）若，求a的值；

（Ⅱ）当时，讨论函数在其定义域上的单调性；

（Ⅲ）证明：对任意的正整数，不等式都成立。