2008-2009学年浙江省宁波市高一（下）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线l经过原点和点（1，），则直线l的倾斜角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°

2. 难度：中等

在空间直角坐标系中，已知两点P₁（-1，3，5），P₂（2，4，-3），则|P₁P₂|=（ ）
A．
B．3
C．
D．

3. 难度：中等

若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆，则这个几何体可能是（ ）
A．圆柱
B．圆锥
C．圆台
D．棱台

4. 难度：中等

点P（x，y）在直线x+y-4=0上，O是原点，则|OP|的最小值是（ ）
A．
B．2
C．
D．2

5. 难度：中等

已知点P（3，2）与点Q（1，4）关于直线l对称，则直线l的方程为（ ）
A．x-y+1=0
B．x-y=0
C．x+y+1=0
D．x+y=0

6. 难度：中等

两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥∂，n∥∂，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

7. 难度：中等

圆O₁：x²+y²-2x=0和圆O₂：x²+y²-4y=0的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．外切
D．内切

8. 难度：中等

已知直线l过直线2x+y-5=0和直线x+2y-4=0的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（ ）
A．x-y-1=0
B．x+y-3=0或x-2y=0
C．x-y-1=0或x-2y=0
D．x+y-3=0或x-y-1=0

9. 难度：中等

如图是正方体的平面展开图．在这个正方形中，
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A．①②③
B．②④
C．③④
D．②③④

10. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，则BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知平面内三点A（2，-3），B（4，3），C（5，a）共线，则a=   

12. 难度：中等

圆锥的侧面展开图是一个半径长为4的半圆，则此圆锥的底面半径为     ．

13. 难度：中等

已知三角形的三个顶点是A（0，0），B（4，0），C（0，3），则△ABC的外接圆方程为     ．

14. 难度：中等

一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的棱长为2，则该球的体积为    

15. 难度：中等

一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都为全等的等腰直角三角形（如图所示），如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为    ．

16. 难度：中等

已知直线l：x-y+4=0与圆C：（x-1）²+（y-1）²=2，则C上各点到l的距离的最小值为    ．

17. 难度：中等

在平面几何里，我们知道，正三角形的外接圆和内切圆的半径之比是2：1． 拓展到空间，研究正四面体（四个面均为全等的正三角形的四面体）的外接球和内切球的半径关系，可以得出的正确结论是：正四面体的外接球和内切球的半径之比是     ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知三角形的三个顶点是A（0，0），B（6，0），C（2，2）．
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）设三角形两边AB，AC的中点分别为D，E，试用坐标法证明：DE∥BC且|DE|=|BC|．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC．E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：DE⊥平面PBC．

20. 难度：中等

已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱． 如图所示．
（1）若设圆柱底面半径为r，求证：r=R（1-）；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值．

21. 难度：中等

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的范围是半径长为r（r＞0）km的圆形区域．轮船的航行方向为西偏北45°且不改变航线，假设台风中心不移动． 如图所示，试问：
（1）r在什么范围内，轮船在航行途中不会受到台风的影响？
（2）当r=60km时，轮船在航行途中受到影响的航程是多少km？

22. 难度：中等

已知A（-1，0），B（2，0），动点M（x，y）满足=，设动点M的轨迹为C．
（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是什么图形；
（2）求动点M与定点B连线的斜率的最小值；
（3）设直线l：y=x+m交轨迹C于P，Q两点，是否存在以线段PQ为直径的圆经过A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．