2012-2013学年山东师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的共轭复数是（ ）
A．3-4i
B．
C．3+4i
D．

2. 难度：中等

已知复数z₁=2+4i，z₂=t+i，且z₁•是实数，则实数t等于（ ）
A．
B．
C．-
D．-

3. 难度：中等

在独立性检验中，统计量Χ²有两个临界值：3.841和6.635．当Χ²＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当Χ²＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当Χ²≤3.841时，认为两个事件无关．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算Χ²=20.87．根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间（ ）
A．有95%的把握认为两者有关
B．约有95%的打鼾者患心脏病
C．有99%的把握认为两者有关
D．约有99%的打鼾者患心脏病

4. 难度：中等

有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（ ）
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误

5. 难度：中等

用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；
②所以一个三 角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A=B=90°，
正确顺序的序号为（ ）
A．①②③
B．①③②
C．②③①
D．③①②

6. 难度：中等

下面的结构图，总经理的直接下属是（ ）

A．总工程师和专家办公室
B．开发部
C．总工程师、专家办公室和开发部
D．总工程师、专家办公室和所有七个部

7. 难度：中等

一个物体的运动方程为s=1-t+t²其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A．7米/秒
B．6米/秒
C．5米/秒
D．8米/秒

8. 难度：中等

下列结论中正确的个数为（ ）
①y=ln2，则y^′=          ②y=，则y^′|_x=3=-
③y=2^x，则y^′=2^xln2      ④y=log₂x，则y^′=．
A．0
B．1
C．2
D．3

9. 难度：中等

函数y=xlnx在区间（0，1）上是（ ）
A．单调增函数
B．在（0，）上是减函数，在（，1）是增函数
C．单调减函数
D．在（0，）上是增函数，在（，1）上是减函数

10. 难度：中等

函数y=f（x）在定义域（-，3）内可导，其图象如图所示．记y=f（x）的导函数为y=f'（x），则不等式f'（x）≤0的解集为（ ）

A．[-，1]∪[2，3）
B．[-1，]∪[，]
C．[-，]∪[1，2）
D．（-，-]∪[，]∪[，3）

11. 难度：中等

若函数f（x）=x³-3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（ ）
A．0＜b＜1
B．b＜1
C．b＞0
D．b＜

12. 难度：中等

观察数表，根据数列所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为（ ）

1	2	3	4	…
2	3	4	5	…
3	4	5	6	…
4	5	6	7	…
…	…	…	…	…

A．2n-1
B．2n+1
C．n²-1
D．n²

二、填空题

13. 难度：中等

曲线y=x³-4x在点（1，-3）处的切线斜率为    ．

14. 难度：中等

i表示虚数单位，则1+i+i²+…i²⁰¹³=    ．

15. 难度：中等

用类比推理的方法填表：

等差数列{an}中	等比数列{bn}中
a3+a4=a2+a5	b3•b4=b2•b5
a1+a2+a3+a4+a5=5a3

16. 难度：中等

已知y=x³+bx²+（b+2）x+3在R上不是单调函数，则b的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知z是复数，满足z+-3z•=1-3i，求z及|z|

18. 难度：中等

设x=1与x=2是f（x）=alnx+bx²+x函数的两个极值点．
（1）试确定常数a和b的值；
（2）试判断x=1，x=2是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并求相应极值．

19. 难度：中等

用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．
（1）求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．

21. 难度：中等

已知：sin²5°+sin²65°+sin²125°=
sin²15°+sin²75°+sin²135°=
sin²30°+sin²90°+sin²150°=
通过观察上述等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．

22. 难度：中等

已知定义在正实数集上的函数f（x）=x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．
（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）  （x＞0）．