2020届湖南省湘潭市高三模拟考试数学理科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设复数，定义.若，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

某地有两个国家AAAA级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（    ）

A.甲景区月客流量的中位数为12950人

B.乙景区月客流量的中位数为12450人

C.甲景区月客流量的极差为3200人

D.乙景区月客流量的极差为3100人

4. 难度：简单

的展开式的中间项为（    ）

A.-40 B. C.40 D.

5. 难度：中等

已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（    ）

A.PA，PB，PC两两垂直 B.三棱锥P-ABC的体积为

C. D.三棱锥P-ABC的侧面积为

6. 难度：简单

已知P为双曲线右支上一点，分别为C的左、右焦点，且线段，分别为C的实轴与虚轴，若成等比数列，则（    ）

A.4 B.10 C.5 D.6

7. 难度：中等

已知，，，则（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

在平行四边形ABCD中，，E为线段CD的中点，若，则（    ）

A.-4 B.-6 C.-8 D.-9

9. 难度：简单

已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

在正方体中，E为棱上一点，且，若二面角为，则四面体的外接球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知函数若函数恰有8个零点，则a的值不可能为（    ）

A.8 B.9 C.10 D.12

12. 难度：中等

“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.斐波那契数列满足（，），记其前n项和为.设命题，命题，则下列命题为真命题的是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

某人午觉醒来，发现手机没电自动关机了，他打开收音机，想听电台准点报时，则他等待的时间不少于20分钟的概率为______.

14. 难度：中等

设是等差数列的前n项和，若，则的取值范围是________.

15. 难度：简单

椭圆的左、右焦点分别为，若，则M的离心率为________.

16. 难度：中等

若存在，使得函数与的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为________.

三、解答题

17. 难度：中等

为了解贵州省某州2020届高三理科生的化学成绩的情况，该州教育局组织高三理科生进行了摸底考试，现从参加考试的学生中随机抽取了100名理科生，，将他们的化学成绩（满分为100分）分为6组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求a的值；

（2）记A表示事件“从参加考试的所有理科生中随机抽取一名学生，该学生的化学成绩不低于70分”，试估计事件A发生的概率；

（3）在抽取的100名理科生中，采用分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取10名，再从这10名学生中随机抽取4名，记这4名理科生成绩在内的人数为X，求X的分布列与数学期望.

18. 难度：中等

的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.

（1）求b；

（2）求内切圆的半径.

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD，，，，E为AD的中点，AC与BE相交于点O.

（1）证明：平面ABCD.

（2）求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.

20. 难度：中等

在直角坐标系中，点，是曲线上的任意一点，动点满足

（1）求点的轨迹方程；

（2）经过点的动直线与点的轨迹方程交于两点，在轴上是否存在定点（异于点），使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.

21. 难度：困难

已知函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求，的值和的单调区间；

（2）若对任意的，恒成立，求整数的最大值.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.

（1）求，，的值；

（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.

23. 难度：中等

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围，