上海市2015-2016学年高二下学期第一次月考数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z=     ．

2. 难度：简单

圆锥的母线长为，底面直径为，则圆锥的高为______.

3. 难度：中等

正方体中，异面直线与所成的角的大小为_________．

4. 难度：简单

正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则此正三棱锥的高为______.

5. 难度：简单

实系数一元二次方程的一个虚根的模是，则实数______.

6. 难度：中等

已知是空间四点，命题甲：四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的_________________条件．

7. 难度：简单

若四面体的四个面都是等边三角形，则与平面所成角的大小为______.

8. 难度：简单

关于的方程的两个根为且，则实数的值______.

9. 难度：简单

已知正四棱柱，，为的中点，则直线与平面的距离为______.

10. 难度：简单

用一张长、宽分别为和的矩形硬纸折成正四棱柱的侧面，则此正四棱柱的对角线长______.

11. 难度：简单

有6根细木棒，其中较长的两根分别为，，其余4根均为，用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线所成的角的余弦值为          .

12. 难度：简单

下面是关于四棱柱的四个命题：

①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱

④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱

其中，真命题的编号是　　    　(写出所有真命题的编号)．

13. 难度：简单

长方体中，，一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点，蚂蚁爬行的最短路线的长为______.

14. 难度：简单

如图，在四棱锥中，底面且底面各边都相等，是上一点， 当点满足           时，平面平面（只要填写一个你认为正确的条件即可）

二、单选题

15. 难度：中等

下面是关于复数的四个命题：

　　①；②；③的共轭复数为；④的虚部为．

其中正确的命题                            （　   ）

A.②③ B.①② C.②④ D.③④

16. 难度：简单

已知是两条不同直线,是两个不同平面,下列命题中的假命题是（    ）

A.若则 B.若则

C.若则 D.若在内，则

17. 难度：中等

在长方体中，，若棱上存在一点，使得⊥，则棱的长的取值范围是                       （  　）

A. B. C. D.

18. 难度：简单

如图所示，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为，则以下说法中错误的是（    ）

A.点是的垂心

B.垂直于平面

C.的延长线经过点

D.直线和所成角为

三、解答题

19. 难度：中等

如图所示，在长方体中，，，，为棱上一点，

（1）若，求异面直线和所成角的正切值；

（2）若，求证平面.

20. 难度：中等

已知，且满足.

（1）求 ；

（2）若，，求证：.

21. 难度：简单

如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体.分别为的中点，为弧的中点，为弧的中点.

（1）求直线与底面所成的角的大小；

（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.

22. 难度：困难

如图，长方体中，，，点为面的对角线上的动点（不包括端点）．平面交于点，于点．

（1）设，将长表示为的函数；

（2）当最小时，求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

23. 难度：中等

如图，正三角形的边长为，、、分别为各边的中点，将△沿、、折叠，使、、三点重合，构成三棱锥．

(1)求平面与底面所成二面角的余弦值；

(2)设点、分别在、上， (为变量) ；

①当为何值时，为异面直线与的公垂线段? 请证明你的结论

②设异面直线与所成的角为，异面直线与所成的角为，试求的值．