2020届江苏省常州市高三上学期期末数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，，则______.

2. 难度：简单

若复数满足（是虚数单位），则的实部为______.

3. 难度：简单

下图是一个算法的流程图，则输出的的值是______.

4. 难度：简单

函数的定义域为________．

5. 难度：简单

已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是______.

6. 难度：简单

某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为______.

7. 难度：简单

已知函数，则______.

8. 难度：简单

函数，取得最大值时自变量的值为______.

9. 难度：简单

等比数列中，若，，，成等差数列，则______.

10. 难度：简单

已知，则______.

11. 难度：中等

在平面直角坐标系中，双曲线：的右顶点为，过作轴的垂线与的一条渐近线交于点，若，则的离心率为______.

12. 难度：中等

已知函数，互不相等的实数，满足，则的最小值为______.

13. 难度：中等

在平面直角坐标系中，圆：上存在点到点的距离为2，则实数的取值范围是______.

14. 难度：困难

在中，，点满足，且对任意，恒成立，则______.

二、解答题

15. 难度：中等

在中，角，，的对边分别为，，，已知，.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.

16. 难度：中等

如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，点，分别是线段，的中点.求证：

（1）平面；

（2）.

17. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的左右焦点分别为，，椭圆右顶点为，点在圆：上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点在椭圆上，且位于第四象限，点在圆上，且位于第一象限，已知，求直线的斜率.

18. 难度：中等

请你设计一个包装盒，是边长为的正方形硬纸片（如图1所示），切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得，，，四个点重合于图2中的点，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（如图2所示），设正四棱锥的底面边长为.

（1）若要求包装盒侧面积不小于，求的取值范围；

（2）若要求包装盒容积最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的容积.

19. 难度：困难

已知函数.

（1）若曲线在处的切线的斜率为2，求函数的单调区间；

（2）若函数在区间上有零点，求实数的取值范围.（是自然对数的底数，）

20. 难度：困难

设为正整数，若两个项数都不小于的数列，满足：存在正数，当且时，都有，则称数列，是“接近的”.已知无穷等比数列满足，无穷数列的前项和为，，且，.

（1）求数列通项公式；

（2）求证：对任意正整数，数列，是“接近的”；

（3）给定正整数，数列，（其中）是“接近的”，求的最小值，并求出此时的（均用表示）.（参考数据：）

21. 难度：简单

已知点在矩阵对应的变换作用下得到点.

（1）写出矩阵的逆矩阵；

（2）求的值.

22. 难度：简单

求圆心在极轴上，且过极点与点的圆的极坐标方程.

23. 难度：中等

求函数的最小值.

24. 难度：中等

批量较大的一批产品中有的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以表示这3个样品中优等品的个数.

（1）求取出的3个样品中有优等品的概率；

（2）求随机变量的概率分布及数学期望.

25. 难度：困难

设集合，，.

（1）求中所有元素的和，并写出集合中元素的个数；

（2）求证：能将集合分成两个没有公共元素的子集和，，使得成立.