2020届辽宁省、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

欧拉公式：因为非常简洁地融合了数学中最基本的五个常数(自然指数的底e，圆周率π，虚数单位i，自然数单位1，以及0)而被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合，则集合A不含无理数的子集共有(   )

A.8个 B.7个 C.4个 D.3个

2. 难度：简单

某学生5次考试的成绩(单位:分)分别为85，67，，80，93，其中,若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

若，且，则的最小值是(   )

A.4 B. C.5 D.

4. 难度：中等

“”是圆锥曲线的焦距与实数无关的（    ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

5. 难度：简单

已知数列满足：，则(   )

A.16 B.25 C.28 D.33

6. 难度：中等

仿照“Dandelin双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美的证明了平面截圆柱的截面为椭圆面．如图，底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为(   )

A. B. C. D.

7. 难度：简单

如图，在复平面内点P对应的复数，将点P绕坐标原点O逆时针旋转到点Q，则点Q对应的复数的虚部为(   )

A. B. C. D.

8. 难度：中等

将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若点坐标为，则（   ）

A.0 B.2 C.6 D.10

9. 难度：困难

已知各项都为正数的等比数列的前项和为，且满足．若，为函数的导函数，则(   )

A. B. C. D.

10. 难度：简单

已知A,B是半径为的球面上的两点，过AB作相互垂直的两个平面，若截该球所得的两个截面的面积之和为，则线段的长度是

A.4 B. C.2 D.

11. 难度：困难

设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（    ）

A. B. C. D.5

12. 难度：中等

设函数由方程到确定，对于函数给出下列命题：

①对任意，都有恒成立：

②，使得且同时成立；

③对于任意恒成立；

④对任意，，

都有恒成立.其中正确的命题共有(   )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二、填空题

13. 难度：简单

已知是夹角为的两个单位向量，，若则________.

14. 难度：简单

为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是________．

15. 难度：中等

中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第五天走的路程为______里.

16. 难度：中等

已知直线是曲线的一条切线，则的取值范围是_________.

三、解答题

17. 难度：简单

高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为、、，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.

（1）求出线段AE的长度；

（2）求出隧道CD的长度.

18. 难度：中等

如图，等腰梯形中，，，E为CD中点，将沿AE折到的位置．

（1）证明：；

（2）当折叠过程中所得四棱锥体积取最大值时，求直线与平面所成角的正弦值．

19. 难度：中等

某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：

等级	标准果	优质果	精品果	礼品果
个数	10	30	40	20

（1）若将频率视为概率，从这个水果中有放回地随机抽取个，求恰好有个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示）

（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.

方案：不分类卖出，单价为元.

方案：分类卖出，分类后的水果售价如下：

等级	标准果	优质果	精品果	礼品果
售价(元/kg）	16	18	22	24

从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？

（3）用分层抽样的方法从这个水果中抽取个，再从抽取的个水果中随机抽取个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望.

20. 难度：中等

过抛物线的焦点为F且斜率为k的直线l交曲线C于、两点，交圆于M，N两点（A，M两点相邻）．

（1）求证：为定值；

（2）过A，B两点分别作曲线C的切线，，两切线交于点P，求与面积之积的最小值．

21. 难度：困难

已知，其中常数．

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）若函数有两个零点，求证：.

22. 难度：中等

在极坐标系中，已知曲线的方程为，曲线的方程为．以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．

（1）求曲线，的直角坐标方程；

（2）若曲线与轴相交于点，与曲线相交于，两点，求的值．

23. 难度：中等

已知函数

（Ⅰ）当时，解不等式；

（Ⅱ）若关于的不等式有解，求实数的取值范围