2019届北京市高三考前热身练习数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

复数的模为（    ）

A.1 B.2 C. D.

3. 难度：简单

若a>0，b>0，则不等式－b<<a等价于(　　)

A. －<x<0或0<x<

B. －<x<

C. x<－或x>

D. x<－或x>

4. 难度：简单

某几何体的主视图和左视图如图所示，则它的俯视图不可能是（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（     ）（参考数据：，，）

A.2020年 B.2021年 C.2022年 D.2023年

6. 难度：中等

已知函数（其中）的最小值为1，则（    ）

A.1 B. C. D.

7. 难度：简单

不等式组的解集为D,有下面四个命题：

，，

，

其中的真命题是（   ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

在高山滑雪运动的曲道赛项目中，运动员从高处（起点）向下滑，在滑行中运动员要穿过多个高约0.75米，宽4至6米的旗门，规定：运动员不经过任何一个旗门，都会被判一次“失格”，滑行时间会被增加，而所用时间越少，则排名越高.已知在参加比赛的运动员中，有五位运动员在滑行过程中都有三次“失格”，其中

（1）甲在滑行过程中依次没有经过，，三个旗门；

（2）乙在滑行过程中依次没有经过，，三个旗门；

（3）丙在滑行过程中依次没有经过，，三个旗门；

（4）丁在滑行过程中依次没有经过，，三个旗门；

（5）戊在滑行过程中依次没有经过，，三个旗门.

根据以上信息，，，，，，，，这8个旗门从上至下的排列顺序共有（    ）种可能.

A.6 B.7 C.8 D.12

二、填空题

9. 难度：简单

在的展开式中，项的系数是__________（用数字作答）．

10. 难度：简单

双曲线：的离心率为______，双曲线与双曲线有共同的渐近线，且过点，则双曲线的方程为______.

11. 难度：简单

在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为：，与交于，两点，则______.

12. 难度：中等

锐角三角形中，若，则的范围是         ；

13. 难度：简单

已知非零向量，满足，.若，则实数的值为______.

14. 难度：中等

已知函数.

（1）的零点是______；

（2）若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是______.

三、解答题

15. 难度：中等

设函数，其中.已知.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.

16. 难度：中等

为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表.

（1）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生完成套卷数之和为4的概率？

（2）若从完成套卷数不少于4套的学生中任选4人，设选到的男学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望；

（3）试判断男学生完成套卷数的方差与女学生完成套卷数的方差的大小（只需写出结论）.

17. 难度：困难

平行四边形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直，，，且，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）若直线上存在点，使得，所成角的余弦值为，求与平面所成角的大小.

18. 难度：困难

已知椭圆：的离心率为，过的左焦点做轴的垂线交椭圆于、两点，且.

（1）求椭圆的标准方程及长轴长；

（2）椭圆的短轴的上下端点分别为，，点，满足，且，若直线，分别与椭圆交于，两点，且面积是面积的5倍，求的值.

19. 难度：中等

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意，都有成立，求实数的最小值.

20. 难度：困难

若无穷数列满足：是正实数，当时，，则称是“—数列”.

（1）若是“—数列”且，写出的所有可能值；

（2）设是“—数列”，证明：是等差数列当且仅当单调递减；是等比数列当且仅当单调递增；

（3）若是“—数列”且是周期数列（即存在正整数，使得对任意正整数，都有），求集合的元素个数的所有可能值的个数.