人教B版(2019) 必修第一册 过关斩将 第二章 2.1.1 等式的性质与方程的解集+ 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系

一、单选题

1. 难度：简单

若，则下列变形正确的是（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

下列变形中错误的是（    ）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

3. 难度：简单

根据等式的性质判断下列变形正确的是（    ）

A.如果，那么 B.如果，那么

C.如果，那么 D.如果，那么

二、解答题

4. 难度：简单

已知关于的方程的解为，求的值.

5. 难度：简单

有只狡猾的狐狸，它平时总喜欢戏弄人，有一天它遇见了老虎，狐狸说：“我发现2014和3是一样的.我这里有一个方程：.

等式两边同时加上2，得，①

化简就是，

等式两边同时除以，得.②

老虎睁大了眼睛，听傻了．

你认为狐狸的说法正确吗?如果正确，请说明上述①、②步的理由；如果不正确，请指出错在哪里，并加以改正.

三、单选题

6. 难度：简单

将分别加上下列各项，其中不能化成形式的是（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

要在二次三项式（    ）的括号中填上一个整数，使它能按公式分解因式，那么这个整数可以是（    ）

A.， B.， C.，，， D.以上都不对

8. 难度：简单

若，，是三角形的三个边长，则的值是（    ）

A.正数 B.负数 C.零 D.不确定

9. 难度：简单

已知是正整数，则下列数中一定能整除的是（    ）

A.6 B.3 C.4 D.5

四、填空题

10. 难度：简单

通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：_______.

11. 难度：简单

已知，，则的值为____________.

12. 难度：简单

因式分解________

五、单选题

13. 难度：简单

阅读材料：

对于多项式可以直接用公式法分解为的形式.但对于多项式就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在中先加上一项，再减去这项，使整个式子的值不变.

解题过程如下：

（第一步）

（第二步）

（第三步）

（第四步）

根据上述材料，回答问题.

上述因式分解的过程，从第二步到第三步，其中用到的因式分解方法是（    ）

A.提公因式法 B.平方差公式法 C.完全平方公式法 D.十字相乘法

14. 难度：简单

一元二次方程的解集为，那么二次三项式可分解为（    ）

A. B. C. D.

15. 难度：简单

一元二次方程的解集是（    ）

A. B. C. D.

16. 难度：简单

给出一种运算：对于函数，规定.例如：若函数，则有.已知函数，则方程的解集是（    ）

A. B. C. D.

六、填空题

17. 难度：简单

已知集合，集合，若，则实数__________．

18. 难度：简单

解一元二次方程时，小明得出方程的根是，则被小明漏掉的一个根是_____.

19. 难度：简单

关于的方程的解集是________.

20. 难度：简单

在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解集为_______.

21. 难度：中等

方程的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是________.

七、解答题

22. 难度：简单

（1）因式分【解析】
；

（2）求方程的解集.

23. 难度：简单

已知集合，集合.

（1）当时，求；

（2）当时，求实数的值.

24. 难度：中等

设集合，.

（1）若，试判断集合与的关系；

（2）若，求实数的所有可能取值构成的集合.

八、单选题

25. 难度：简单

已知、是方程的两个实数根，则的值为（    ）

A. B.2 C.22 D.30

26. 难度：中等

若实数、满足，，则的值是（    ）

A. B.2 C.2或 D.

九、填空题

27. 难度：简单

已知，是方程的两个根，则____________.

28. 难度：中等

设关于的方程的两个实数根分别为，，若，那么实数的值是_______.

十、解答题

29. 难度：中等

已知三个集合， ，，同时满足，的实数，是否存在?若存在，求出实数，的取值范围；若不存在，说明理由.

十一、单选题

30. 难度：简单

现定义运算“★”：对于任意实数、，都有，如，若，则实数的值为（    ）

A.3或 B.或1 C. D.

31. 难度：简单

若多项式可以因式分解为，则实数的值为（    ）

A.5 B. C.11 D.

32. 难度：简单

方程的解集是（    ）

A. B. C. D.

33. 难度：简单

在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，则方程的所有解的和为（    ）

A. B.0 C.1 D.2

34. 难度：困难

设的两实根为，，而以，为根的一元二次方程仍是，则数对的个数是（    ）

A.2 B.3 C.4 D.0

十二、多选题

35. 难度：简单

下列式子中变形正确的是（    ）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

36. 难度：困难

关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，如下给出的结论中正确的是（    ）

A.这两个方程的根都是负根 B.这两个方程的根中可能存在正根

C. D.

十三、填空题

37. 难度：简单

某同学在做作业时发现：方程（    ）不能求解了，因为（   ）处的数字在印刷时被污迹盖住了，经过翻看后面的答案，知道该方程的解为，该同学很快就知道了被污迹盖住的数字.则将该方程复原出来应为______.

38. 难度：中等

将4个数，，，排成2行2列，两边各加一条竖线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式若，则________.

39. 难度：中等

若（为单项式）是一个完全平方式，则满足条件的可以为_______.

40. 难度：简单

已知关于的一元二次方程有两个不相等的正整数根，则整数的值是_______.

41. 难度：简单

分解因式时，甲看错的值，分解的结果是，乙看错的值，分解的结果是，则________.

42. 难度：简单

若集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合是_______.

十四、解答题

43. 难度：简单

如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且.（以上长度单位：cm）

（1）用含、的代数式表示图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和；

（2）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________；

（3）若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值.

44. 难度：简单

阅读材料：常用的分解因式方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：

.

这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种方法解决下列问题：

（1）分解因式；

（2）三边，，满足，判断的形状.

45. 难度：简单

已知关于x的一元二次方程.

(1)若方程有实数根，求实数k的取值范围；

(2)如果k是满足(1)的最大整数，且方程的根是一元二次方程的一个根，求m的值及这个方程的另一个根.

46. 难度：中等

设是不小于的实数，关于的方程有两个不相等的实数根、.

（1）若，求实数的值；

（2）令（），求实数的取值范围.

47. 难度：中等

已知集合，为实数.

（1）若集合是空集，求实数的取值范围；

（2）若集合是单元素集，求实数的值；

（3）若集合中元素个数为偶数，求实数的取值范围.

48. 难度：中等

已知集合，.

（1）若集合，，求的值；

（2）是否存在实数，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.